Quadratische Ergänzung ist ein nützliches Verfahren zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Es hilft dabei, eine Gleichung in eine einfachere Form zu bringen, um die Lösung zu erleichtern. Dieser Artikel bietet einen Überblick über die Methode der quadratischen Ergänzung, ihre Anwendung und einige Übungsbeispiele.
1. Was ist quadratische Ergänzung?
Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um eine quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 in eine Form zu bringen, die leichter zu lösen ist. Das Ziel ist es, die Gleichung in eine “vollständige Quadrat”-Form zu bringen, die einfacher zu lösen ist, weil sie in der Form (x−p)2=q(x – p)^2 = q(x−p)2=q vorliegt.
2. Der Prozess der quadratischen Ergänzung
Um eine quadratische Gleichung durch Ergänzen zu lösen, folgen Sie diesen Schritten:
- Normierung: Stellen Sie sicher, dass der Koeffizient von x2x^2×2 gleich 1 ist. Falls nötig, teilen Sie die gesamte Gleichung durch aaa (den Koeffizienten von x2x^2×2).Beispiel: x2+6x+8=0x^2 + 6x + 8 = 0x2+6x+8=0 wird zu x2+6x=−8x^2 + 6x = -8×2+6x=−8.
- Quadratische Ergänzung: Fügen Sie eine Konstante hinzu und subtrahieren Sie dieselbe Konstante, um die Gleichung in eine Quadratform zu bringen. Diese Konstante ist der Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von xxx.Beispiel: Bei der Gleichung x2+6x=−8x^2 + 6x = -8×2+6x=−8 berechnen wir die Konstante:(62)2=32=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9(26)2=32=9Fügen Sie 9 auf beiden Seiten der Gleichung hinzu:x2+6x+9=−8+9x^2 + 6x + 9 = -8 + 9×2+6x+9=−8+9Dies vereinfacht sich zu:(x+3)2=1(x + 3)^2 = 1(x+3)2=1
- Lösen der Gleichung: Lösen Sie die Gleichung, indem Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten ziehen und die resultierenden Gleichungen lösen.Beispiel: Ziehen Sie die Quadratwurzel:x+3=±1x + 3 = \pm \sqrt{1}x+3=±1Dies ergibt:x+3=±1x + 3 = \pm 1x+3=±1Daher:x=−3±1x = -3 \pm 1x=−3±1Die Lösungen sind:x=−2undx=−4x = -2 \quad \text{und} \quad x = -4x=−2undx=−4
3. Beispiele für Übungsaufgaben
Hier sind einige Übungsaufgaben zur quadratischen Ergänzung:
- Aufgabe 1:x2+8x−5=0x^2 + 8x – 5 = 0x2+8x−5=0Lösung: Normieren, ergänzen, und die Gleichung lösen.
- Aufgabe 2:2×2−4x+1=02x^2 – 4x + 1 = 02×2−4x+1=0Lösung: Zuerst durch 2 teilen, dann quadratische Ergänzung anwenden und lösen.
- Aufgabe 3:x2−10x+9=0x^2 – 10x + 9 = 0x2−10x+9=0Lösung: Quadratische Ergänzung durchführen und die resultierenden Lösungen finden.
4. Tipps zur Anwendung
- Überprüfen Sie immer, ob die Gleichung zunächst in der Standardform vorliegt.
- Achten Sie darauf, die gleiche Konstante auf beiden Seiten der Gleichung zu addieren, um die Gleichung nicht zu verändern.
- Verwenden Sie die quadratische Ergänzung bei Gleichungen, bei denen die Faktorisierung schwierig ist.
Fazit
Die quadratische Ergänzung ist eine leistungsstarke Methode zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Durch das Umformen der Gleichung in eine vollständige Quadratform können komplexe Gleichungen vereinfacht und gelöst werden. Übung macht den Meister – probieren Sie verschiedene Beispiele aus, um ein tiefes Verständnis für diese Technik zu entwickeln.